Resolução de Sistemas

Resolução de Sistemas



A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição

Solução

determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5



y = 1


Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3


A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:



Solução

Adicionamos membros a membros as equações:



2x = 16



x = 8



Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

Regra de três composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
5 x 125

Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).




A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão necessários 25 caminhões.


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2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens
8
4
Carrinhos
20
x
Dia
5
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão montados 32 carrinhos.


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3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:



Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.


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Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Função do 2º grau

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.




Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.



Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.



Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:



f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)



f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)



f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)



Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.



Exemplo 1



A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:



x = – 3

y = – (–3)² + (–3) – 2

y = –9 – 3 – 2

y = – 12 – 2

y = – 14



x = – 2

y = –( – 2)² + (– 2) – 2

y = – 4 – 2 – 2

y = – 8



x = –1

y = – (–1)² + (–1) – 2

y = – 1 – 1 – 2

y = – 2 – 2

y = – 4



x = 0

y = 0² + 0 – 2

y = – 2



x = 1

y = – 1² + 1 – 2

y = – 1 + 1 – 2

y = – 2





x = 2

y = – 2² + 2 – 2

y = – 4 + 2 – 2

y = – 4



Exemplo 2



Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.



x = –2

y = 2*(–2)² + (–2) + 3

y = 2*4 – 2 + 3

y = 8 – 2 + 3

y = 9



x = –1

y = 2*(–1)² + (–1) + 3

y = 2 – 1 + 3

y = 4



x = 0

y = 2*0² + 0 + 3

y = 3



x = 1

y = 2*1² + 1 + 3

y = 2 + 1 + 3

y = 6



x = 2

y = 2*2² + 2 + 3

y = 8 + 2 + 3

y = 13



x = 3

y = 2*3² + 3 + 3

y = 18 + 3 + 3

y = 24



x = 4

y = 2*4² + 4 + 3

y = 32 + 4 + 3

y = 39



Exemplo 3



Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.



f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:



f(x) = 3x² – 5x + m² – 9

f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9

0 = m² – 9

m² = 9

m = √9

m = – 3 ou + 3

Função do 1º grau

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.


Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente                      Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5

O Teorema de Pitágoras no Cotidiano

O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do homem. A área de transportes é considerada muito importante para o desenvolvimento de um país, o teorema de Pitágoras está presente nela contribuindo na sua logística e no desenvolvimento cotidiano, no intuito de dinamizar cada vez mais o setor.

Imagine a seguinte situação:

Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?

Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:

D = 30*6 = 180 Km

Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:

D = 40 * 6 = 240 Km

Veja o esquema:

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Exemplo 2




De posse de um mapa (veja figura), o motorista de um caminhão de entrega de eletrodomésticos precisa saber qual a distância entre as cidades A e B, pois dependendo da distância precisa abastecer o caminhão para não ter surpresas desagradáveis na viagem, falta de combustível ou atraso na entrega.

Area de um triângulo

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo.



No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.

Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:

A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.

Exemplo 1

Observe o triângulo equilátero (possui os lados com medidas iguais). Vamos calcular a sua área:

Como o valor da altura não está indicado, devemos calculá-lo, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no seguinte triângulo retângulo:

4²= h² + 22


16 = h² + 4

16 – 4 = h²

12 = h²

h = √12

h = 2√3 cm
Calculado o valor da altura, basta utilizar a fórmula demonstrada para obter a área da região triangular.

Portanto, a área do triângulo equilátero que possui os lados medindo 4cm é de 4√3cm².



Classificação dos triangulos



triângulos na construção da base de um telhado

 Classificação de Triângulos

O triângulo é considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois através dele podemos estabelecer várias relações fundamentais, como exemplo temos uma relação muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que é o Teorema de Pitágoras.
Podemos definir o triângulo como um polígono formado por três segmentos de retas que se cruzam duas a duas, formando três vértices, três ângulos e três lados.
Os triângulos se classificam quanto ao tamanho da medida dos seus lados e quanto à medida de seus ângulos.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados.

Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais.
Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos

Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º.
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º.
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º.

Equações literais

Existem equações que possuem outras letras além da variável x, elas representam valores reais. Essas equações recebem o nome de equações literais do 1º grau na incógnita x. Exemplos:
 xb = 6

 2ax + 3a = bx

 px + n = p

 2x + 4m = x + 9m

 2ax – 4ax = 3b + x

 ax – 8x = 6a + 8

Resolução de Equações Literais
Exemplo 1

3x + 3m = x + 9m

3x – x = 9m – 3m

2x = 6m

x = 6m/2

x = 3m



Exemplo 2

3ax – 2(ax + b) = 6b + x

3ax – 2ax – 2b = 6b + x

ax – x = 6b + 2b

ax – x = 8b

x(a – 1) = 8b

Exemplo 3

Verificamos que a intenção de resolver uma equação literal é isolar a incógnita e estabelecer seu valor. A objetividade destas equações está ligada a resoluções de sistemas pelo método da substituição, onde isolamos uma das variáveis numa equação e substituímos o valor na outra equação. Observe mais alguns exemplos de resolução de equações literais:

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

8ax – 5(ax + b) = 6b + 3x

8ax – 5ax – 5b = 6b + 3x

8ax – 5ax – 3x = 6b + 5b

3ax – 3x = 11b

x(3a – 3) = 11b

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Vocé já viu que pra resolver alguns problemas com triangulos retangulos é preciso conhecer as razões trigonemetricas dos angulos agudos desse triângulo desse triângulo. Para facilitar os calculos, há alguns seculos foi montada uma tabela que fornece os valores de seno cosseno e da tangente de angulos de 1º a 89º.Veja a tabela segunte:

Razões Trigonométricas

Razões trigonométricas

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Catetos e Hipotenusa

Observe a figura:

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

HIPOTENUSA=a

catetos=b e c

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:



Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.



Assim:

seno do angulo b=medida de b /medida de a

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

 Assim:

Tabuadas 1 ao 9

1x1 = 1

1x2 = 2

1x3 = 3

1x4 = 4

1x5 = 5

1x6 = 6

1x7 = 7

1x8 = 8

1x9 = 9

1x10 = 10
__________________________________________________________________________
2x1 = 2

2x2 = 4

2x3 = 6

2x4 = 8

2x5 = 10

2x6 = 12

2x7 = 14

2x8 = 16

2x9 = 18

2x10 = 20
__________________________________________________________________________
3x1 = 3

3x2 = 6

3x3 = 9

3x4 = 12

3x5 = 15

3x6 = 18

3x7 = 21

3x8 = 24

3x9 = 27

3x10 = 30
__________________________________________________________________________
4x1 = 4

4x2 = 8

4x3 = 12

4x4 = 16

4x5 = 20

4x6 = 24

4x7 = 28

4x8 = 32

4x9 = 36

4x10 = 40
__________________________________________________________________________
5x1 = 5

5x2 = 10

5x3 = 15

5x4 = 20

5x5 = 25

5x6 = 30

5x7 = 35

5x8 = 40

5x9 = 45

5x10 = 50
__________________________________________________________________________
6x1 = 6

6x2 = 12

6x3 = 18

6x4 = 24

6x5 = 30

6x6 = 36

6x7 = 42

6x8 = 48

6x9 = 54

6x10 = 60
__________________________________________________________________________
7x1 = 7

7x2 = 14

7x3 = 21

7x4 = 28

7x5 = 35

7x6 = 42

7x7 = 49

7x8 = 56

7x9 = 63

7x10 = 70
__________________________________________________________________________
8x1 = 8

8x2 = 16

8x3 = 24

8x4 = 32

8x5 = 40

8x6 = 48

8x7 = 56

8x8 = 64

8x9 = 72

8x10 = 80
__________________________________________________________________________
9x1 = 9

9x2 = 18

9x3 = 27

9x4 = 36

9x5 = 45

9x6 = 54

9x7 = 63

9x8 = 72

9x9 = 81

9x10 = 90
__________________________________________________________________________
10x1 = 10

10x2 = 20

10x3 = 30

10x4 = 40

10x5 = 50

10x6 = 60

10x7 = 70

10x8 = 80

10x9 = 90

10x10 = 100

Sistema de Equação do 2º Grau

Já vimos como resolver uma Equação do 2º Grau na Formula de Bhaskara. Agora vamos ver como se resolve um Sistema de Equação do 2º Grau.

Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:



8x + 4y = 64



2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192





Simplificando, obtemos:



2x + y = 16 1



x2 +xy = 48 2







Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.



Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:



Assim: 2x + y = 16 1



y = 16 - 2x



Substituindo y em 2 , temos:



x2 + x ( 16 - 2x) = 48



x 2 + 16x - 2x2 = 48



- x2 + 16x - 48 = 0 ->Multiplicando ambos os membros por -1.



x2 - 16x + 48 = 0



x'=4 e x''=12



Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:



y'=16 - 2 . 4 = 8



y''=16 - 2 . 12 = - 8







As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).



desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:



Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m



Largura =2x = 2. 4 = 8m



Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1



y - 3x = -1 y = 3x - 1



Substituindo em 2



x2 - 2x(3x - 1) = -3



x2 - 6x2 + 2x = -3



-5x2 + 2x + 3 = 0 ->Multiplicando ambos os membros por -1.



5x2 - 2x - 3 = 0



x'=1 e x''=-



Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

Raiz da equação do 2grau

Resolução de equações completas


Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação ax²+bx+c, em que a, b, c IR e a diferente de 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).



1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

 

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

 3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .



Asim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:


Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:



Exemplos:
resolução a equação: 7x²-13x-2=0


Temos a=7 , b=-13 e c=-2



Raízes de uma equação do 2º grau

Equação do 2ª grau

         Eu mostro aqui em meu blog os truques de matemática e um desses truques tem a equação do 2º grau, mas temos que aprender os dois a formula de Bhaskara e a técnica barbara do Professor Márcio Barbosa.
         Vamos lá aprender e para outros relembrar.
         Como já sabemos que equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".Exemplos:

1. 2x + 1=10 - x
2. x + 10=15
3. 30 - x = x + 10

X é a nossa variável ou incognita e cada uma dessas equações o expoente é 1 então essa equação do 1 grau.
Veja esses exemplos agora:

1. 3x²-10x+3=0
2. -x²+9x-20=0
3. 6x² - x - 1 = 0

Nessas equações tem variável, os sinais de operações e o sinal de igualdade então essa expressões são equações,mas de que grau?
E do 2 grau, porque o maior desses expoentes é 2.
Agora vamos apredeender a como resolve-las.
Toda equação do 2º grau é assim:
                                          ax²+bx+c=0
a é o coeficiente
b é o coeficiente
c é o termo dependente
Identificação:

1. 3x²-10x+3=0, então a = 3,b=-10 e c=3
2. -x²+9x-20=0, então a= -1,b=9 e c=-20
3. 6x² - x - 1 = 0, então a=6,b=-1 e c=-1

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:
x² - 36 = 0  (b = 0)                x² - 10x = 0   (c = 0)                        4x² = 0     (b = c = 0)

Número PI

A partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega  p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.

O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.

HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 ,  , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).

POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.

POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco  , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco  seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.

SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U 
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.

FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p² / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função  é igual a  . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p².
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.

Um número fascinante

PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.

Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.

Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:

- Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )

- J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.

- J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.

Os vários tipos de PI

Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:

• PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
• PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
• PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
• PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro

Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).

A descoberta do PI

Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!

Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.

Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.

É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.

Por que é tão difícil calcular o PI?

A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia

• ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
• ou explorar a periodicidade de sua representação decimal

( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.

Os dois tipos de Fatoração

Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:

ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)



Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:





(x+y).(a+b)



Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)



Exs: Fatore:

x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma comum comum fatorada

b² é Fator /  c³é fator /(2+a) é fator comum/ Forma comum /comum fatorada

2.Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exs:
Fatore:

a)

b)

c)

Note que é possível fatorar a expressão duas vezes